கணிதவியல்
உலகில் எந்த ஒரு தனிப்பட்ட நாட்டின் பங்களிப்பைவிடவும் கணிதவியலில் இந்தியாவின் பங்களிப்பு மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. தவிர்க்க இயலாத ஒன்று. நம் நாட்டின் கணிதவியல் கண்டுபிடிப்புகள் மற்ற நாட்டு அறிஞர்களின் கண்டுபிடிப்புகளிலிருந்து தனித்துவமானது சார்பற்றது. பண்டைய காலங்களில் கணிதம் நடைமுறை பயன்பாட்டுக்கு உபயோகப்படுத்தும் முறையாகவே இருந்தது. கணித முறைகள் மற்றும் அளவீட்டு முறைகள் கட்டடக்கலை மற்றும் சிற்பக்கலை சார்ந்த தொழில்களில் ஒவ்வொரு பாகங்களின் அளவுகளை சரியான முறையில் அமைக்கவும், அளவீட்டு சிக்கல்களை தீர்ப்பதற்காகவும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒரு அற்புத அறிவியல் இது. பண்டைய காலக் கட்டத்தில் இருந்து வந்துள்ளதை பல்வேறு சான்றுகளின் மூலமாக அறியமுடிகிறது.
இந்திய கணிதவியல் காலக்கட்டத்தை சிந்து சமவெளி நாகரீகம் தொடங்கி, வேதகாலம் (பௌதாயன, சத்யானா, பாணினி)இலக்கிய காலம் (ஆரியப்பட்டா 1 , ஆரியப்பட்டா 11, பாஸ்கரா 1, பாஸ்கரா 11, பிரம்மகுப்தர், மகாவீரா, பாவ்லுரி மல்லான, வராகமித்திரர்); மத்திய காலம் (நாராயண பண்டிட், சங்கம கிராம மாதவன், நீலகண்ட சோமயாஜி, ஜேஸ்ட தேவன்); தற்காலம் (சீனிவாச ராமானுஜம், ஹரீஸ்-சந்திரா, எஸ்.என்.போஸ், சுப்ரமணியன் சந்திரசேகர், பிரளந்த சந்திர மெக்னோவீஸ், ஜயந்நார்லிகர், சீனிவாச வரதன், தாணு பத்மநாபன்) என்று ஐந்து காலக்கட்டங்களாக பிரித்து அறியலாம். இந்த ஐந்து காலக்கட்டத்திலும் ஆங்காங்கே சில மாறுதல்களும், பார்ப்பனிய ஆதிக்க திணிப்புகளும் இந்தியக் கணிதவியலில் நடந்தேறின. இவற்றின் ஒட்டு மொத்த தொகுப்பு தான் இன்றைய இந்திய கணிதவியல் என்பது மறுக்க முடியாத உண்மை.
பண்டையக் கால கணிதவியல்
(கி.மு.3000 - கி.மு.600)
சிந்துசமவெளி நாகரீக அகழ்வாராய்ச்சிகள் நிகழ்த்தப்படாமலிருந்தால் இந்தியச் சரித்திரம் வேதகாலத்திலிருந்துதான் தொடங்கியது என்னும் தவறான வரலாறாக மாறியிருக்கும். இந்திய வரலாறே ஆரியமயமாக்கப்பட்டிருக்கும். சிந்து சமவெளி நாகரீகத்தில் வழக்கத்திலிருந்த ஒரே மாதிரியான அளவீடுகளும், எடை முறைகளும் இந்திய கணிதவியலின் முதல் நிலை ஆகும். இதனை கணக்கில் கொள்ளாமல் கணிதவியல் சரித்திரம் எழுதுவது, நுனிப்புல் மேய்வது போலவே அமையும்.
கி.மு.1500-க்கும் முந்தைய காலகட்டங்களிலேயே தந்தத்திலான அளவுகோல்களை சிந்துசமவெளி நாகரீக திராவிட மக்கள் பயன்படுத்தி வந்திருக்கின்றனர். லோதல் என்னுமிடத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அளவுகோல் 2 மில்லி மீட்டருக்கும் குறைவான அளவீடு ஒரு அங்குலத்தில் 1/16 பங்கு இடை வெளியில் பிரிக்கப்பட்டு, அளவீடாகப் பயன் படுத்தப்பட்டு வந்தது. மொகஞ்சதாரோவில் 1.32 அங்குலம் (33.5 மி.மீ) இடைவெளியில் அளவுகள் குறிக்கப் பட்டிருந்தது. மேலும் ஒவ்வொரு 1.32 பிரிவும் 0.005 அங்குல இடைவெளியில் மிக நுணுக்கமாக, பிழையின்றி பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மூலம் தசம முறை அளவீடுகள் இங்கிருந்துதான் ஆரம்பமானது என தெளிவாக விளங்கும். அந்தக் காலகட்டத்தில் உபயோகிக்கப் பட்ட செங்கற்களின் அளவு 4:2:1 என்ற விகிதாச்சார முறையில் அமைந்திருந்தது. எல்லா அளவுகளிலும் ஒரு ஒழுங்குமுறை பின்பற்றப்பட்டிருந்தது. இந்தச் சான்றுகள் சிந்துசமவெளி நாகரீக கால கட்டத்திலேயே கணித அளவீடு படிநிலையை அடைந்திருந்ததை தெள்ளத்தெளிவாக பதிவு செய்கிறது. இதைப் பற்றிய ஆய்வு இன்னும் நடந்து வருகிறது.
வேதகால கணித வளர்ச்சி
வேதகால கணிதவியல் வளர்ச்சிக்குரிய சான்றுகள் மதம் சார்ந்த நூல்களிலேயே காணப் படுகின்றன. பத்தின் அடுக்கு 12 (1012), என நூல்களில் இடம் பெற்றிருந்தன. அஸ்வபேத யாகத்தின் இறுதியில் செய்யப்படும் அன்ன ஹோமத்தில் உச்சரிக்கப்படும் மந்திரத்தில் பத்தின் அடுக்குகள் நூறு முதல் டிரில்லியன் வரையிலான எண்கள் இடம் பெற்றிருக்கிறது. அவை சத (நூறு 102), டிரில்லியன் (ஆயிரம், 103), ஆயுத (பத்தாயிரம், 102) முதல் பரார்த சங்கர (1012) வரை எண்களாகும். யாக அக்னி குண்டம் வளர்த்துவதற்கான சிறிய கட்டிடம் போன்ற அமைப்பை கட்டுவதற்கு சில முறைகளை சுலப சூத்ரா என்ற வேதகால சமஸ்கிருத நூல் கூறுகிறது சமன்பாடு களை உபயோகப்படுத்தாமல் பிதாகரஸ் தேற்றம் பண்டைய முறையில் வார்த்தைகளால் விவரிக்கப் பட்டிருந்தது.
பௌதாயனா (கி.மு.800) பௌதயன சுபல சூத்திரத்தை இயற்றியவர் இந்த காலகட்டத்தை சேர்ந்தவர். ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தின் வழியே இழுக்கப்படும் கயிறானது அதன் செங்குத்து மற்றும் கிடக்கை பக்கங்கள் இணைந்து உருவாக்கும் பரப்பிற்கு சமம் என்ற பொதுவான கருத்தை பௌதாயனாவின் சுலப சூத்திரம் கூறுகிறது. அதனை விளக்குவதற்கு, மிகச் சரியான முக்கோண சதுரத்தின் பக்கங்கள் (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) மிக துல்லியமாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பௌதாயனா இரண்டின் வர்க்கமூலம் கண்டு பிடிக்க, ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்கி, இரண்டின் வர்க்க மூலத்தை ஐந்து தசம இடமதிப்பு வரை துல்லியமாக கணித்தார்.
சமணர்கள் கால கணிதவியல்
(கி.மு.600 - கி.பி.500)
சமணர்கள், மதங்களிலும், மத சடங்குகளிலும் வழிபாட்டு மந்திரங்களிலும் பின்னிப்பிணைந் திருந்த கணிதவியலை, அவற்றிலிருந்து விடுதலைப் பெற பெரும் பங்காற்றியவர்கள். சமணக் கணிதவியலர்கள் முதன் முதலில் "சூன்யா' என்ற சுழி அல்லது பூஜ்ஜியத்தை குறிப்பிடும் பதத்தை முதன் முதலில் உபயோகப் படுத்தியவர்களாவர். சமணர் பிரபஞ்சவியல் கருத்துகள் கணிதவியலில் "முடிவிலி' என்ற புதிய ஒரு சிந்தனைக்கு வழி வகுத்தது. ஒரு முடிவுறு கணத்திற்கு அது எத்தனை உறுப்புகளை கொண்டிருக்கிறது என்பதுதான் அடிப்படை. ஆனால் முடிவுறா கணத்திற்கு அதன் உறுப்புகளை அளவிட முடியாது. முடிவுறா கணத்தினை குறிப்பிட வேண்டுமானால் ஒரு சிக்கலான குறியீடு தேவைப்படுகிறது. ஐரோப்பாவில் இந்த முடிவிலி பற்றிய சிந்தனை வருவதற்கு 19-ஆம் நூற்றாண்டு வரை காத்திருக்க வேண்டியிருந்தது, எண்ணியல் கோட்பாடு, வடிவியல், பின்னங்கள் மற்றும் சேர்வு ஆகியவற்றை கண்டுபிடித்ததில் சமணர்களின் பங்கு மிக முக்கியமானது.
மேலும் முடிவிலியை கண்டறிந்தது மட்டு மின்றி, முடிவிலியை ஐந்து வெவ்வேறு வகைகளாக பிரித்துள்ளனர். ஒரு திசை முடிவிலி, இருதிசை முடிவிலி, ஒரு பரப்பில் முடிவிலி, எல்லாதிசையிலும் முடிவிலி, நிலையான முடிவிலி ஆகியவையே ஐந்து முடிவிலிகள்.
கணிதவியலின் கலை இலக்கிய காலகட்டம்
(கி.மு 400 - கி.மு.1200)
வேதகாலத்திற்கு முந்தைய காலக்கட்டம் கணிதவியலின் மிக முக்கியமானதோர் காலக்கட்டம் எனலாம். இக்காலகட்டத்தில் தோன்றிய ஆரிய பட்டர், பிரம்ம குப்தர், பாஸ்கரா, வராகமித்திரர், மகாவீரா போன்றவர்கள் கணிதவியல் பல்வேறு கிளைகளாக பிரிவதற்கு தெளிவான அமைப்பை உருவாக்கியவர்கள் எனலாம். வேதகால கணித வியலைப் போன்று அல்லாமல் கணித அறிவியல், ஜோதிட கணிதம், வானியல் கணிதம் என மூன்று பிரிவுகளாக பிரிவுற்று வளர்ந்தன. இக்கால கட்டத்தில்தான் கிரேக்கர்களிடமிருந்து ஜோதிடம் இந்தியாவில் நுழைந்ததாகவும், வானவியல் அறிவு நம்மிடமிருந்து கிரேக்கர்களுக்கு சென்றதெனவும் விவேகானந்தர் எடுத்துரைக்கிறார். கி.மு.120-க்கும் பிந்தைய காலகட்டத்தில் யவனேஸ்வராவினால் எழுதப் பட்ட புகழ்மிக்க ஜோதிட நூல் இதனை மறைமுகமாக உணர்த்துகிறது.
கணிதவியலின் சூனியம் (அல்லது) சூழி மனித சமுதாயத்திற்கே பழங்கால இந்தியா அளித்த பரிசு. இடமதிப்புத் திட்டத்தின் பயன்பாட்டிற்கு சுழி என்ற கருத்தே முழு முதற்காரணம். எல்லா எண் களையும் பத்தே குறியீடுகளைக்கொண்டு குறிப்பிடமுடியும் என்ற கருத்து இடமதிப்புத் திட்டம் ஆகும். இன்றைய கணினி முறைகளில் இன்றியமையாத அடித்தளமாக இருக்கும் எண்முறை (Binary) திட்டம் ஏற்பட அடிப்படை இடமதிப்புத் திட்டம் தான் இது.
இக்காலகட்டத்தில் தோன்றிய ஆரியபட்டர் வானவியலில் மிகுந்த ஆர்வமுடையவர். தன்னுடைய "ஆரியபட்டியம்' எனும் நூலில் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு (Lixar equations) தீர்வுகாண தன்னுடைய கண்டுபிடிப்பான, குட்டகா என்னும் முறையை விவரித்துள்ளார். அதோடு அல்லாமல் ஆரியபட்டா சைன் பட்டியல் எனும் கோண அளவுகளின் சைன் மதிப்புகளை நான்கு தசம இடமதிப்பிற்கு சரியாக, 0 டிகிரி முதல் 90 டிகிரி வரையிலான கோணங்களுக்கு மதிப்பைக் கண்டறிந்தவர் இவரே. இவருடைய நேரியல் சமன்பாடு ax+by+c ஆகும். இதில் a,b,c என்பன முழு எண்கள்.
பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமைகளை கண்டுபிடித்தவர். இயற்கணிதத்தில் முற்றொருமை என்பது இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகைகள் இரண்டின் பெருக்குதொகையும் இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் என்பதுதான்.
இது பிரம்ம குப்தரால் "பிரம்மஸ் புடசித்தாந்தம் என்ற நூலில் எழுதப்பட்டது. சிக்கலெண்களின் தொடர்பு, வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரம்,
ஆகியவை பிரம்மகுப்தர் கணிதவியலுக்கு அளித்த மிகப்பெரிய பங்களிப்பு எனலாம். இக்காலகட்டத்தில் வானவியல் கணக்கீடுகள் வேகமாக வளர்ச்சியடைய தொடங்கியிருந்ததை, வானில் நடைபெறும் நிகழ்வுகளான சூரியகிரகணம் மற்றும் சந்திர கிரகணம் ஆகியவற்றின் தோற்றங் கள் குறித்த கணக்கிட ஸ்ரீபதி மிஸ்வராவால் எழுதப்பட்ட "திகோடி தகர்னா' எனும் நூலில் காணலாம். இக்காலகட்டங்களில் மகாவீரா எதிர்மாறு எண்களில் வர்க்கமூலம் இல்லை எனவும், உயர்ந்த அடுக்குள்ள பல்லுறுப்புகளையும் கொண்ட கணக்குகளுக்கு தீர்வுகளை கண்டறிந்தார்.
மத்தியக் கால கட்டம்
மத்தியக் காலகட்டத்தில் பல கணிதவியலர்கள் இந்தியாவில் தங்களின் கணிதக் கண்டுபிடிப்புகளை வெளியிட்டுள்ளனர். நாராயண பண்டிட், மாதவன், பரமேஸ்வரா, நீலகண்ட சோமையாஜி, ஜேஸ்ட தேவன், சங்கரவாரியர், அச்சுதபிஷரடி போன்றவர்கள் முக்கியமானவர்கள். பதினான்காம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், இன்றைய கேரளாவில் பாரதபுழையின் கரையோரம் திருக்கன்டியூர், திருநாவாய திருப்பரங்கோடு மற்றும் ஆலத்தியூர் ஆகிய கிராமங்களை உள்ளடக்கிய பகுதியில் "நீள'' பள்ளி என்றழைக்கப்பட்ட குருகுலப்பள்ளி இயங்கி வந்தது. சாமுத்ரி அரசர்களின் பாதுகாப்பிலும், ஆதரவிலும் ஜோதிடவியலர்கள் மற்றும் கணிதவியலர்கள் வாழ்ந்து வந்தனர். இவர்களுள் பிரசித்தம் பெற்றவர் சங்கம கிராம மாதவன். பல நூல்கள் இயற்றியிருந்தாலும் இவருடைய "வேணுவாரோகம்' எனும் ஜோதிட சித்தாந்த நூல் மட்டுமே கிடைக்கப்பெற்றுள்ளது. இதில் முப்பத்தியாறு நிமிடங்களுக்கு ஒருமுறை வானில் சந்திரனின் நிலையும், அதன் வேகமும் கணக்கீடு செய்கிற முறை தான் முக்கிய அம்சம். இவருடைய சீடர்களின் ஏடுகளிலிருந்து சங்கம கிராம மாதவனின் காலகட்டம் கி.பி.1350-க்கும் - 1925-க்கும் இடைப்பட்டதாக இருந்தது என்பதனை அறியமுடிகிறது.
முடிவுறாத் தொடரை கண்டுபிடித்த சங்கம கிராம மாதவனின் காலகட்டத்திற்கு பிறகு, இரு நூறு ஆண்டுகள் கழித்து மேற்கத்திய கணித அறிஞர்களான ஜேம்ஸ் கிரிகோரி (1638 - 1675) லிபினிட்ஸ் (1646 - 1716) ஐசக் நியூட்டன் (1642 - 1772) அதே முடிவுறாத் தொடரைக் கண்டுபிடித்த னர் என்ற உண்மை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய ஒன்று. பிறகு மாதவனின் கண்டு பிடிப்பை ஏற்று, மேற்கத்திய கணிதவியலர்கள் கிளியோரி-மாதவா தொடர், லிபினிட்ஸ் - மாதவா தொடர் என்றழைக்களாயினர்.
முடிவிலாமல் நீளும் முடிவுறாத் தொடர் ஒரு முடிவுறு எண்ணை கொடுக்கக் கூடியது என்ற கண்டுபிடிப்பு அன்றைக்கு ஆயிரம் வருடம் பழமையான ஸீனோ (கி.பி.500) எனும் தத்துவஞானியின் சித்தாந்தத்தை உறுதிப்படுத்து வதாக இருந்தது. ஸீனோவின் தத்துவப்படி இயக்கம், சலனங்கள், மாற்றங்கள் என்பவை உண்மையல்ல. உண்மை எதுவென்றால் மாற்றமில்லா, தன்மையுடைய நிலையான பிரபஞ்சம்தான். ஸீனோவினுடைய ஆமை, முயல் கதையில் ஒளிந்துள்ள கணிதத்தை விளக்குவதற்கு பல நூற்றாண்டுகள் காத்திருக்க வேண்டிவந்தது. ஒரு ஆமையும், முயலும் தமக்குள் ஒட்டப்பந்தயம் வைத்தது. தன்னுடைய தொடக்கப் புள்ளி முயலுடையதைவிட 50 மீட்டர் முன்னில் இருக்க வேண்டுமென்ற ஆமையின் நிர்பந்தத்தை முயல் ஏற்றுக்கொண்டது. புத்திசாலியான ஆமை, ஒட்டப்பந்தயத்தில் முயல் வெற்றிபெறப்போவ தில்லை என்று கூறியது. அதற்கான காரணத்தை இவ்வாறு விளக்கியது: "தனக்கு முன்னே செல்ல வேண்டுமானால் முயல் முதலில் 50 மீட்டர் தூரத்தை கடக்க வேண்டும், அந்த 50 மீட்டருக்கு முன்பு 25 மீட்டர் தூரத்தை கடக்க வேண்டும். அதற்கு முன் 12 1/2 மீட்டர், 6 1/2 ... இவ்வாறான விதத்தில் கடந்தாக வேண்டும், எனக்கூறியது. அதாவது முயல், ஆமைக்கு முன் செல்ல வேண்டு மானால் 50/2 + 50/4 + 50/8 + 50/16 + 50/32 ... என்ற முடிவிலா தொடர் குறிப்பிடும் தூரத்தை கடந்தாக வேண்டும். இந்த தூரம் முடிவிலாதது. ஆகையினால் முயல் வெற்றிபெற முடியாது என்ற இக்கதைக்கு விடையைக் கூற பல தலைமுறைகள் எடுத்தது. இவ்வகையில் முடிவிலாதொடர் கண்டுபிடித்ததில் சங்கம கிராம மாதவன் மேலைநாட்டவர்களின் கண்டு பிடிப்புகளுக்கு இருநூறு வருட முன்னோடி. இவரின் சீடர்களின் வரிசையில் வந்த ஜேஸ்ட தேவன் எழுதிய "யுக்தி பாஷா' நூலின் வாயிலாக நுண்கணிதம் (Calculas) முதன்முதலாக இந்தியாவில் வெளிவந்தது. ஒரு எண்ணின் தொகையீடு என்பது அவ்வெண்ணின் வர்க்கத்தின் பகுதி, அதாவது x2/2 என்று யுக்தி பாஷா நுண்கணிதத்தின் தீர்வுகளை எடுத்து வைக்கிறது.
